x → 5 のときの (√(x + 11) − 6)/(x − 5) の極限を求めるか、存在しない理由を説明せよ。

Step-by-step solution

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   手法を選ぶ前に代入する。 $\dfrac{\sqrt{u(x)}-c}{x-a}$という形は普通「分子を有理化せよ」の合図だが、それが正しいのは分子が実際に0になるときだけである。確かめてみると：

   $\sqrt{5+11}-6=\sqrt{16}-6=4-6=-2$

   であり、分母は$5-5=0$である。よって形は$\dfrac{-2}{0}$であって$\dfrac{0}{0}$ではない。

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   いつもの共役の技巧がここでは効かない理由を見る。 $\dfrac{\sqrt{x+11}+6}{\sqrt{x+11}+6}$を掛けると分子は$(x+11)-36=x-25$になるので、

   $\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=\frac{x-25}{(x-5)\left(\sqrt{x+11}+6\right)}$

   となる。$x=5$では新しい分子は$-20\ne 0$であり、因子$(x-5)$は分母に取り残されたままである。何も約分されない——これこそ正真正銘の$\tfrac{c}{0}$の姿である。（よくある取り違えは$x-25$を$(x-5)(x+5)$と「因数分解」してしまうことだが、$(x-5)(x+5)=x^2-25$であって$x-25$ではない。）

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   2つの片側極限を取る。 $x=5$の近くでは分子は$-2<0$に近いので、商の符号は$x-5$の符号の逆になる：

   $\lim_{x\to 5^{+}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=+\infty$

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   数値で確認する。 $x=5.0001$では商はおよそ$-2.0\times10^{4}$、$x=4.9999$ではおよそ$+2.0\times10^{4}$である。両側が正反対の向きに走り去っていく。

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   結論を述べる。 片側極限が一致せず、しかも有限ですらないので、両側極限は存在しない。直線$x=5$はこの関数の垂直漸近線である。覚えておく価値のある一般則：不定形なのは$\tfrac00$だけであり、0でない数を0で割った形は常に無限大か非存在であって、有限の値になることは決してない。