f は微分可能な関数で f(3) = 5、f′(3) = 2 であるとする。g を f の逆関数とするとき、g′(5) の値はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   うろ覚えの公式ではなく、逆関数の定義から始める。 定義により $g$ は $f$ を打ち消すので、定義域のすべての $x$ に対して

   $f\bigl(g(x)\bigr)=x.$

   が成り立つ。あとはこの恒等式を微分すれば全部出てくる。

2. 2

   両辺を x で微分する（合成関数の微分）。 左辺は合成、右辺の導関数は $1$ である：

   $f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=1\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}.$

3. 3

   代入する前に内側の値 g(5) を求める。 ここが飛ばされがちな段階である。$f(3)=5$ なので、両辺に $g$ を施すと

   $g(5)=3.$

   つまり $f$ の導関数は $5$ ではなく $3$ で読まねばならない。

4. 4

   2 つの既知の数を代入する。

   $g'(5)=\frac{1}{f'(g(5))}=\frac{1}{f'(3)}=\frac{1}{2}.$

5. 5

   結果を解釈する。 $f$ と $g$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称であり、対称移動は縦の変化と横の変化を入れ替える——だから傾きは逆数になる。$(3,5)$ で傾き $2$ で登っている関数は、逆関数では $(5,3)$ で傾き $\tfrac12$ で登ることになる。