y = x² / tan x について dy/dx を求めよ。

Step-by-step solution

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   商の微分法の部品を見極める。 $u=x^2$、$v=\tan x$ として $y=\frac{u}{v}$ と書く。商の微分法は $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ であり、2 つの積の順序が重要なので $u'v$ を先に置くこと。

2. 2

   分子を微分する。 べき乗の公式より $u'=2x$ である。

3. 3

   分母を微分する。 正接の標準的な導関数は $v'=\sec^2 x$ であり、これ自体は $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ に商の微分法を 1 回当てれば得られる。

4. 4

   公式に当てはめる。 代入すると $\frac{dy}{dx}=\frac{2x\tan x-x^2\sec^2 x}{\tan^2 x}$ となる。

5. 5

   正弦と余弦で整理する。 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$、$\sec x=\frac{1}{\cos x}$ に置き換えて繁分数を払うと $\frac{2x\sin x\cos x-x^2}{\sin^2 x}$ になり、こちらのほうが数値計算しやすい。

6. 6

   定義域を押さえる。 この式は $\tan x$ が定義され、かつ 0 でないところ、すなわち $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ かつ $x\neq k\pi$ で成り立つ。