x → 1 のときの (1 − x)/(√(5 − x²) − 2) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認する。 $x=1$では分子が$0$、分母が$\sqrt{4}-2=0$なので、これは$\frac{0}{0}$であり式変形が必要である。

2. 2

   分子ではなく分母を有理化する。 今回は根号が下にあるので、分子と分母に$\sqrt{5-x^2}+2$をかける。分母は$\left(5-x^2\right)-4=1-x^2$になる。

3. 3

   商全体を書き直す。 式は$\frac{(1-x)\left(\sqrt{5-x^2}+2\right)}{1-x^2}$となる。

4. 4

   因数分解して約分する。 $1-x^2=(1-x)(1+x)$なので、厄介な$(1-x)$が約分でき、$x\neq 1$のすべてで$\frac{\sqrt{5-x^2}+2}{1+x}$が残る。

5. 5

   $x=1$を代入する。 簡約後の式は$1$で連続である：$\frac{\sqrt{4}+2}{2}=\frac{4}{2}=2$。

6. 6

   数値で確認する。 もとの商を$x=1+10^{-8}$で評価すると$2.0000$が返り、代数的な結果とぴったり一致する。