2^x × (2^x + 4)^5 の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   導関数がすでに外に出ている内側の関数を探す。 括弧$2^x+4$がべき乗されており、その導関数は

   $\frac{d}{dx}\left(2^{x}+4\right)=2^{x}\ln 2,$

   であって、これは定数$\ln 2$を除けば外側の因子$2^x$そのものである。これが置換積分の問題であることの目印になる。

2. 2

   置換する。

   $u=2^{x}+4\quad\Longrightarrow\quad du=2^{x}\ln 2\,dx\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}\,dx=\frac{du}{\ln 2}.$

   ここでの底は$e$ではなく$2$なので、$\ln 2$を最後まで持ち歩かなければならない——これを落とすのがこの積分で群を抜いて多い誤りである。

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   積分を完全に u で書き直す。

   $\int 2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5}dx=\int u^{5}\,\frac{du}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\int u^{5}\,du.$

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   べき乗則を使って元の変数に戻す。

   $\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}+C.$

5. 5

   微分して確認する。 合成関数の微分法により、

   $\frac{d}{dx}\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}=\frac{6\left(2^{x}+4\right)^{5}\cdot 2^{x}\ln 2}{6\ln 2}=2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5},$

   となり、もとの被積分関数に戻るので、この原始関数は正しい。