長方形 −1 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 2 上での (x − 4y) の積分について、領域を述べ、二重積分を計算し、積分順序を入れ替えて再び計算せよ。

Step-by-step solution

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   (a) 領域を特定する。 4 つの積分区間の端がすべて定数なので、領域は長方形

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 1,\ 0\le y\le 2\}$

   であり、頂点は $(-1,0)$、$(1,0)$、$(1,2)$、$(-1,2)$ である。

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   (b) x の区間の対称性を使う。 区間 $[-1,1]$ は $0$ について対称で $x$ は奇関数なので

   $\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0$

   となる。これで $y$ に手をつける前に $x$ の項がまるごと消える。

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   残った項を x で積分する。 $y$ を定数として

   $\int_{-1}^{1}(-4y)\,dx=-4y\big[x\big]_{-1}^{1}=-4y(2)=-8y$

   なので、内側の積分は $0-8y=-8y$ である。

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   y で積分する。

   $\int_{0}^{2}(-8y)\,dy=\left[-4y^{2}\right]_{0}^{2}=-16$

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   (c) 順序を入れ替えて確認する。

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{2}(x-4y)\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{2}dx=\int_{-1}^{1}(2x-8)\,dx=\big[x^{2}-8x\big]_{-1}^{1}=(1-8)-(1+8)=-16$

   $\boxed{-16}$

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   符号と大きさを検算する。 この長方形の上で $y$ は $2$ まで動くので $-4y$ は $-8$ に達する一方、$x$ は平均としては何も寄与しない。したがって被積分関数の平均値は $-4\bar y=-4$ であり、長方形の面積は $2\times 2=4$ なので $-4\times 4=-16$ ✓ となる。