theta = 0 から 2π まで、r = 0 から a(1 - cos theta) までの r の 3 乗 × cos の 2 乗 theta を dr dtheta で積分した値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   領域を見きわめる。 $r$ の上端 $r=a(1-\cos\theta)$ は、尖点を原点に置き $x$ 軸の正の向きを向いたカージオイドを描く。$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くと、これがちょうど 1 周する。

2. 2

   cos^2(theta) を定数とみなして先に r で積分する。 $\int_0^{a(1-\cos\theta)} r^3\,dr = \frac{\left(a(1-\cos\theta)\right)^4}{4} = \frac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4,$ となるので、問題は $\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,(1-\cos\theta)^4\,d\theta.$ に帰着する。

3. 3

   4 乗を二項展開する。 $(1-\cos\theta)^4 = 1-4\cos\theta+6\cos^2\theta-4\cos^3\theta+\cos^4\theta$ なので、$\cos^2\theta$ を掛けると $\cos^2\theta-4\cos^3\theta+6\cos^4\theta-4\cos^5\theta+\cos^6\theta.$ となる。

4. 4

   奇数乗を捨てる。 1 周期にわたっては $\int_0^{2\pi}\cos^{2k+1}\theta\,d\theta = 0$ なので、$\cos^3$ と $\cos^5$ の項は何も寄与しない。ここが最大の手間の節約になる。

5. 5

   偶数乗にウォリスの値を入れる。 $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$、$\int_0^{2\pi}\cos^4 = 2\pi\cdot\tfrac38 = \tfrac{3\pi}{4}$、$\int_0^{2\pi}\cos^6 = 2\pi\cdot\tfrac{5}{16} = \tfrac{5\pi}{8}$ である。係数を付けて足すと $\pi+6\cdot\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{8} = \frac{8\pi+36\pi+5\pi}{8} = \frac{49\pi}{8}.$ となる。

6. 6

   前に付いている因子を掛ける。 $\frac{a^4}{4}\cdot\frac{49\pi}{8} = \frac{49\pi a^4}{32}.$

7. 7

   数値で検証する。 $a=1.3$ のとき、$\tfrac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4\cos^2\theta$ を $[0,2\pi]$ で数値積分すると $13.7394511287$ となり、$\tfrac{49\pi(1.3)^4}{32} = 13.7394511287$ と小数第 10 位まで一致する。