微分方程式 3(1 + t²) dy/dt = 2ty(y³ − 1) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず平衡解を見つけておく。 右辺は $y=0$ または $y^3=1$ のとき消え、定数の $y$ では $\tfrac{dy}{dt}=0$ なので

   $y\equiv 0\qquad\text{および}\qquad y\equiv 1$

   はどちらも方程式を満たす。これを先に押さえておくことが重要である。以降の置換では $y$ で割るからである。

2. 2

   ベルヌーイ型の形を見抜く。 $3(1+t^2)$ で割り、右辺を展開すると：

   $\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y=\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y^{4}$

   となる。これは指数 $n=4$ のベルヌーイ型であり、定石の処方は $v=y^{1-n}=y^{-3}$ である。

3. 3

   $v=y^{-3}$ と置換する。 このとき $\dfrac{dv}{dt}=-3y^{-4}\dfrac{dy}{dt}$ であり、$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}$ を使うと：

   $\frac{dv}{dt}=-3y^{-4}\cdot\frac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}=-\frac{2t\left(1-y^{-3}\right)}{1+t^2}$

   となり、したがって

   $\frac{dv}{dt}-\frac{2t}{1+t^2}\,v=-\frac{2t}{1+t^2}$

   である。符号に注意したい。$v$ の係数は負である。ここを正にしてしまうのがこの問題で最も多い取りこぼしで、最終的な答えがひっくり返ってしまう。

4. 4

   積分因子を求める。 $P(t)=-\dfrac{2t}{1+t^2}$ とすると

   $\mu(t)=\exp\!\left(\int P\,dt\right)=\exp\left(-\ln\left(1+t^2\right)\right)=\frac{1}{1+t^2}$

   である。全体に掛けると左辺が 1 つの導関数にまとまる：

   $\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{1+t^2}\right)=-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}$

5. 5

   両辺を積分する。 右辺自体が置換（$u=1+t^2$）で処理できる：

   $\int-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}\,dt=\frac{1}{1+t^2}+C$

   よって $\dfrac{v}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}+C$、すなわち

   $v=1+C\left(1+t^2\right)$

   となる。

6. 6

   $y$ に戻して検算する。 $v=y^{-3}$ なので

   $\frac{1}{y^{3}}=1+C\left(1+t^{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad y=\left[1+C\left(1+t^{2}\right)\right]^{-1/3}$

   となる。$C=0.7$、$t=1.7$ として数値で確かめると、左辺 $3(1+t^2)y'=-1.60448567$、右辺 $2ty(y^3-1)=-1.60448567$ である。$\checkmark$（$C=0$ とすると平衡解 $y\equiv1$ が復元される。）