x = π/8 から x = π/12 までの sin²(x) cos⁴(x) dx の定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分の上下端が逆になっていることに気づく。 下端の $\tfrac{\pi}{8}=0.3927$ は上端の $\tfrac{\pi}{12}=0.2618$ より大きい。$\sin^2x\cos^4x\ge 0$ がいたるところ成り立つ以上、答えは必ず負になる：

   $\int_{\pi/8}^{\pi/12}=-\int_{\pi/12}^{\pi/8}$

   先に符号を決めておくことが、最終的な数値に対して最も安上がりな検算になる。

2. 2

   倍角の公式で次数を下げる。 どちらの指数も偶数なので、$u$ 置換ではなく次数下げが正しい道具である：

   $\sin^2x\cos^4x=\frac{1-\cos 2x}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{(1+\cos 2x)\left(1-\cos^2 2x\right)}{8}=\frac{\sin^2 2x+\sin^2 2x\cos 2x}{8}$

   この分け方は意図的である。第 1 項にはもう一度次数下げが要り、第 2 項はきれいな $u$ 置換になる。

3. 3

   項ごとに原始関数を求める。 第 1 項には $\sin^2 2x=\tfrac{1-\cos 4x}{2}$ を、第 2 項には $u=\sin 2x$ を使うと

   $\int\sin^2 2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 4x}{8},\qquad \int \sin^2 2x\cos 2x\,dx=\frac{\sin^3 2x}{6}$

   となるので

   $F(x)=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+\frac{\sin^3 2x}{48}$

   である。

4. 4

   2 つの端で評価する。 $x=\tfrac{\pi}{12}$ では $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$ なので

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{192}-\frac{\sqrt3}{128}+\frac{1}{384}$

   $x=\tfrac{\pi}{8}$ では $\sin\tfrac{\pi}{2}=1$、$\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ だから $\sin^3\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{4}$ となり

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{128}-\frac{1}{64}+\frac{\sqrt2}{192}$

5. 5

   引き算し、分母を 384 にそろえる。

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)-F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=-\frac{\pi}{384}+\frac{7}{384}-\frac{3\sqrt3}{384}-\frac{2\sqrt2}{384}=\frac{7-\pi-3\sqrt3-2\sqrt2}{384}$

   数値で見ると $7-3.14159-5.19615-2.82843=-4.16617$ で、$384$ で割ると $\approx -0.010849$ ——上下端が逆であることが要求したとおり負である。もとの被積分関数を同じ逆向きの区間で数値求積しても $-0.0108494$ が返る $\checkmark$。