連立微分方程式 x′ = x − 2y、y′ = 2x + y を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   連立をひとつの行列の方程式として書く。 $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、連立は $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$ の形になる。ここで

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

   である。こう書くことが重要なのは、以降の解が $A$ の固有値だけで決まり、代入も消去も要らなくなるからである。

2. 2

   固有値を求める。 固有方程式は

   $\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^2 = -4$

   なので $\lambda = 1 \pm 2i$ である。共役な組 $\alpha \pm \beta i$ は必ず $e^{\alpha t}$ と $\beta t$ の正弦・余弦の積を生む：増大率が $\alpha = 1$、回転率が $\beta = 2$ である。

3. 3

   固有ベクトルを 1 本求める。 $\lambda = 1 + 2i$ に対し、$A - \lambda I$ の第 1 行は $-2i\,v_1 - 2v_2 = 0$ となるので $v_2 = -i\,v_1$、すなわち

   $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$

   である。固有ベクトルは 1 本あれば足りる：共役のほうは新しい情報を持たない。

4. 4

   複素解を実部と虚部に分ける。 $e^{(1+2i)t} = e^{t}(\cos 2t + i\sin 2t)$ を使うと、

   $e^{(1+2i)t}\mathbf{v} = e^{t}\begin{pmatrix} \cos 2t + i\sin 2t \\ \sin 2t - i\cos 2t \end{pmatrix}$

   となる。その実部 $e^t(\cos 2t,\ \sin 2t)$ と虚部 $e^t(\sin 2t,\ -\cos 2t)$ が、独立な 2 つの実数解である。

5. 5

   これらを組み合わせて一般解にする。

   $x(t) = e^{t}\left(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\right), \qquad y(t) = e^{t}\left(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t\right)$

6. 6

   代入して確かめる。 $x$ を微分すると $e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) + e^t(-2C_1\sin 2t + 2C_2\cos 2t)$ となり、$x - 2y = e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) - 2e^t(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t)$ ——同じ式である。第 2 の方程式も同様に確かめられる。$\alpha = 1 > 0$ なので、どの軌道も原点から外向きに渦を巻いていく。