1 ≤ x² + y² ≤ 4、y ≥ x、x ≤ 0 の領域上での x + 2y の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   領域が円で囲まれているので極座標に移る。 次のようにおく：

   $x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad dA = r\,dr\,d\theta$

   円環の条件は単に $1 \le r \le 2$ となり、$\theta$ に依存しない——この分離こそが、ここで変数変換をする価値である。

2. 2

   1 つ目の角の条件を翻訳する。 $x \le 0$ は $r\cos\theta \le 0$ を意味し、$r > 0$ なので：

   $\cos\theta \le 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

   これは左半平面である。

3. 3

   2 つ目の角の条件を翻訳する。 $y \ge x$ は $\sin\theta \ge \cos\theta$ を意味する。差を 1 つの正弦にまとめると

   $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\!\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$

   となる。2 つの範囲の共通部分をとると、くさび

   $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

   が得られ、角の幅は $3\pi/4$ である。この共通部分を取り違えるのが、この問題の主要な危険箇所である。

4. 4

   被積分関数を変換し、ヤコビアンを拾う。

   $(x + 2y)\,dA = r(\cos\theta + 2\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^2(\cos\theta + 2\sin\theta)\,dr\,d\theta$

   $dA$ から出る余分な $r$ が $r^1$ を $r^2$ に変えている——これを落とすのが極座標の古典的な誤りである。

5. 5

   積分は分離できる。まず動径方向を処理する。 $r$ の積分区間が $\theta$ に依存しないので：

   $\int_1^2 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$

6. 6

   角度方向を処理して合わせる。

   $\int_{\pi/2}^{5\pi/4} (\cos\theta + 2\sin\theta)\,d\theta = \bigl[\sin\theta - 2\cos\theta\bigr]_{\pi/2}^{5\pi/4}$

   $\theta = 5\pi/4$ では正弦も余弦も $-\frac{\sqrt2}{2}$ なので $-\frac{\sqrt2}{2} + \sqrt2 = \frac{\sqrt2}{2}$、$\theta = \pi/2$ ではかっこの中は $1 - 0 = 1$ である。よって角度方向の積分は $\frac{\sqrt2}{2} - 1$ となり、

   $\iint_D (x+2y)\,dA = \frac{7}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) = \frac{7}{6}\left(\sqrt{2} - 2\right) \approx -0.6834$

   となる。値が負になるのは当然で、このくさびはほとんど $x < 0$ の側にある。極座標での数値求積は $-0.68341751$ を与え、もとの直交座標の条件に対するモンテカルロによる確認では $-0.681$ が得られる。