y = x² + 5、x 軸、y 軸、および直線 x = 5 で囲まれた領域を x 軸のまわりに360°回転してできる立体の体積を求めよ。

Step-by-step solution

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   領域を確定し、方法を選ぶ。 4つの境界から $0\le x\le 5$（$y$ 軸は $x=0$）と $0\le y\le x^2+5$ が得られる。$[0,5]$ 上でつねに $x^2+5>0$ なので、曲線は回転軸と交わらず、領域は底辺全体で回転軸に接している。したがって $x$ 軸に垂直な断面はどれもワッシャーではなく完全な円板になる。円板法が素直な選択で、シェル法だと領域を $y=5$ で分割する必要があり手間が増える。

2. 2

   円板法の積分を立てる。 位置 $x$ にある厚さ $dx$ の薄片は、半径 $R(x)=y=x^2+5$、面積 $\pi R(x)^2$ の円板を描くので、

   $V=\pi\int_0^5 \left(x^2+5\right)^2 dx.$

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   積分の前に2乗を展開する。 ここには連鎖律による近道はない（内側の微分が定数ではないので $\int (x^2+5)^2dx \ne \tfrac{(x^2+5)^3}{3}$ である）。まず掛け広げる：

   $\left(x^2+5\right)^2=x^4+10x^2+25.$

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   項ごとに積分する。 どの項も単純な累乗である：

   $V=\pi\int_0^5\left(x^4+10x^2+25\right)dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+25x\right]_0^5.$

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   積分範囲を代入する。 $x=5$ では $\tfrac{5^5}{5}=625$、$\tfrac{10\cdot 125}{3}=\tfrac{1250}{3}$、$25\cdot 5=125$ である。下端の寄与は $0$ である。分母を $3$ にそろえて足すと：

   $625+125+\frac{1250}{3}=\frac{1875+375+1250}{3}=\frac{3500}{3}.$

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   体積を述べる。 したがって

   $V=\frac{3500\pi}{3}\approx 3665.19\text{ 立方単位}.$

   $\pi\int_0^5(x^2+5)^2dx$ を数値計算すると $3665.1914$ となり、厳密値が確認できる。