領域 0 ≤ x ≤ π、0 ≤ y ≤ π 上での xy × sin(xy²) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   被積分関数に隠れた置換を見つける。 正弦の中身は $xy^2$ で、外側の因子は $xy$ である。$\frac{d}{dy}(xy^2) = 2xy$ なので、外側の因子は中身の導関数のちょうど半分——$y$ についてのきれいな置換積分の合図である。$x$ を先に積分してもこれほどうまくはいかないので、与えられた順序 $dy\,dx$ のままにする。

2. 2

   x を固定して内側の積分で置換する。

   $u = xy^2, \qquad du = 2xy\,dy \ \Longrightarrow \ xy\,dy = \tfrac12\,du$

   とおく。積分区間も変数とともに移り、$y = 0$ で $u = 0$、$y = \pi$ で $u = x\pi^2$ となる。よって

   $\int_0^{\pi} xy\sin(xy^2)\,dy = \frac{1}{2}\int_0^{x\pi^2} \sin u\,du$

3. 3

   内側の積分を計算する。

   $\frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_0^{x\pi^2} = \frac{1}{2}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right)$

   外にあった $x$ は置換に吸収された。余計な $x$ の因子が残らないのはそのためである。

4. 4

   結果を x で積分する。

   $I = \frac{1}{2}\int_0^{\pi}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right) dx = \frac{1}{2}\left(\pi - \left[\frac{\sin(x\pi^2)}{\pi^2}\right]_0^{\pi}\right)$

   $\frac{1}{\pi^2}$ は合成関数の微分から来る。ここでの $\pi^2$ は余弦の中で $x$ に掛かっている定数である。

5. 5

   まとめて値を出す。

   $I = \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi^3)}{2\pi^2}$

   $\pi^3 \approx 31.00628$、$\sin(\pi^3) \approx -0.39829$ とすると：

   $I \approx 1.570796 + 0.020178 = 1.590974$

   2 次元の直接求積は $1.59097384$ を与え、一致する。