微分方程式 y′ + y/x = 18x + 4 の解は kx² + hx − sy + C/x = 0 の形に書ける。s が 3 より小さい正の整数であるとき、k、h、s を求めよ。

Step-by-step solution

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   方程式の型を見極め、積分因子を作る。 この方程式は標準形 $y'+P(x)y=Q(x)$ の 1 階線形であり、$P(x)=1/x$、$Q(x)=18x+4$ である。積分因子は

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int dx/x}=e^{\ln|x|}=x.$

   である。$\mu$ の狙いはただ 1 つ、これを掛けることで左辺が完全な導関数になることにある。

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   全体に掛けて積の微分法の形を見抜く。

   $xy'+y=18x^{2}+4x.$

   左辺はまさに $\dfrac{d}{dx}(xy)$ である。これが積分因子を正しく求められたことの確認になる。したがって

   $(xy)'=18x^{2}+4x.$

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   両辺を 1 回積分する。

   $xy=\int(18x^{2}+4x)\,dx=6x^{3}+2x^{2}+C,$

   となり、$x$ で割れば

   $y=6x^{2}+2x+\frac{C}{x}.$

   が得られる。

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   求められた形に整理する。 $y$ を左辺へ移すと

   $6x^{2}+2x-y+\frac{C}{x}=0.$

   となる。$kx^{2}+hx-sy+C/x=0$ と項ごとに比べれば $k=6$、$h=2$、$s=1$ が確定する。「$s$ は $3$ より小さい正の整数」という条件が規格化を決めている。方程式全体は任意の定数倍にできるが、書かれたとおり $C/x$ の係数を $1$ に保つのは $s=1$ だけである（$s=2$ なら $k=12$、$h=4$ が必要になる）。

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   代入して検算する。 $y=6x^{2}+2x+Cx^{-1}$ なら $y'=12x+2-Cx^{-2}$ なので、

   $y'+\frac{y}{x}=12x+2-\frac{C}{x^{2}}+6x+2+\frac{C}{x^{2}}=18x+4.$

   となる。$C$ の項はどんな $C$ でも打ち消し合い、一般解であることが確かめられる。数値でも $C=1.7$、$x=2.3$ とすると $y'+y/x=45.4$ となり、$18(2.3)+4=45.4$ と一致する。