y = −(1/2) sin(3.14/3 − x²) について、定義域を答え、dy/dx を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず定義域を述べる。 正弦関数はすべての実数を受け取れ、$\frac{3.14}{3}-x^{2}$ はすべての $x$ で定義された多項式なので、この合成はいたるところで定義される：

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}.$

   ここでの $3.14$ は小数の定数（小数点にコンマを使う表記では $3{,}14$）であって $\pi$ ではない。微分には影響しないが、あとで $y=0$ を数値的に解くときには効いてくる。

2. 2

   内側と外側の関数を見極める。 次のようにおく：

   $u=\frac{3.14}{3}-x^{2},\qquad y=-\frac12\sin u.$

   内側の関数に明示的に名前をつけることが、合成関数の微分を正確に保つ。定数 $-\tfrac12$ は掛け算の係数として一緒に運ばれるだけである。

3. 3

   外側の関数を微分する。 $\frac{d}{du}\sin u=\cos u$ なので

   $\frac{dy}{du}=-\frac12\cos u.$

   定数倍の法則により、$-\tfrac12$ は微分をそのまま素通りする。

4. 4

   内側の関数を微分して掛ける。 定数 $\frac{3.14}{3}$ の微分は $0$ なので

   $\frac{du}{dx}=-2x,$

   となり、合成関数の微分から

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\left(-\frac12\cos u\right)(-2x)=x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right).$

   2 つの負号が打ち消し合い、$\tfrac12$ が $2$ と約分される。答えの係数がぴったり $1$ になるのはそのためである。

5. 5

   数値で確認し、臨界点を押さえる。 $x=1.1$ での $y$ の中心差分は $1.0853598$ を与え、$x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=1.0853598$ と一致する ✓。導関数が 0 になるのは $x=0$ のとき、または $\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=0$ すなわち $x^{2}=\frac{3.14}{3}-\frac{\pi}{2}-k\pi$ のときである——つまり $x=0$ は常に臨界点で、それ以外は余弦の零点の間隔で並ぶ。