x × e^(−x²) の x = 0 から無限大までの広義積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   広義積分を極限の形に書き直す。 上端が無限大の積分は通常の定積分の極限として定義され、その定義こそが収束の議論を意味あるものにしている：

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx$

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   $u=x^2$と置換する。 前についている因子$x$は、まさにこの置換が必要とするものである——$e^{-x^2}$単独では初等的に積分できないのに$x\,e^{-x^2}$なら積分できるのは、この因子のおかげである：

   $u=x^2,\qquad du=2x\,dx,\qquad x\,dx=\frac{du}{2}$

   積分区間も移る：$x=0\Rightarrow u=0$、$x=b\Rightarrow u=b^2$。

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   $u$で積分する。

   $\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx=\frac12\int_0^{b^2}e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^{b^2}=\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)$

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   極限を取る。 $b\to\infty$のとき$b^2\to\infty$、$e^{-b^2}\to 0$なので：

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)=\frac12$

   積分は収束し、しかも減衰は極めて速い：$b=3$の時点で残りの裾の寄与は$\tfrac12 e^{-9}\approx 6\times 10^{-5}$しかない。

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   関連する結果と照らし合わせる。 被積分関数は奇関数なので、同じ原始関数から$\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=0$が従う。一方、偶関数の相棒である$\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\approx 0.886$には初等的な原始関数がそもそも存在しない。両者を比べると、$x$という因子1つで問題がどれほど変わるかが分かる：あれば厳密に$\tfrac12$、なければガウス積分の技巧を要する値になる。