領域 1 ≤ x ≤ 2、x ≤ y ≤ 3 上での −2x − 2y + 2 の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分の前に領域を描く。 条件 $1\le x\le 2$ と $x\le y\le 3$ は台形状の帯を表す。横座標 $x$ での縦の切片は直線 $y=x$ から直線 $y=3$ まで伸びるので、その長さは $3-x$ であり、$x$ が $1$ から $2$ へ動くにつれて $2$ から $1$ へ縮む。下端が $x$ に依存するので、この順序では $y$ の積分を先に行わねばならない。

2. 2

   $x$ を固定して $y$ で積分する。

   $\int_x^3\left(-2x-2y+2\right)dy=\left[-2xy-y^2+2y\right]_{y=x}^{y=3}$

   上端の $y=3$ では $-6x-9+6=-6x-3$、下端の $y=x$ では $-2x^2-x^2+2x=-3x^2+2x$ となる。

3. 3

   慎重に引く。 下端の値は式全体として引かれるので、その中の符号はすべて反転する：

   $(-6x-3)-\left(-3x^2+2x\right)=3x^2-8x-3$

   お決まりの誤りが起こるのはここである——$-3x^2$ の前の負号を落とすと、最終的な答えが正になってしまう。

4. 4

   得られた 1 変数関数を積分する。

   $\int_1^2\left(3x^2-8x-3\right)dx=\left[x^3-4x^2-3x\right]_1^2=(8-16-6)-(1-4-3)=-14-(-6)=-8$

5. 5

   答えが負でよい理由を説明する。 被積分関数 $2-2x-2y$ は領域のほぼ全体で負である。この帯の上では $x\ge 1$、$y\ge 1$ なので $2-2x-2y\le 2-2-2=-2<0$ となる。領域全体で負の関数の積分は負にならねばならないので、$-8$ という符号は正しい。大きさも妥当である：領域の面積は $\int_1^2(3-x)dx=\tfrac32$ で、被積分関数の平均は $-8/1.5\approx -5.3$ となり、その実際の値域 $-8$ から $-2$ の中に収まっている。