3cos(2x) = 2ln(x − 1) の解をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域を確定する。 対数には $x-1>0$ が必要なので、すべての解は

   $x>1$

   を満たす。$x\to 1^{+}$ のとき右辺は $-\infty$ に発散する一方、左辺は $[-3,3]$ にとどまる。したがって差 $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ は、はじめ大きな正の値をとる。

2. 2

   探索範囲を有界にする。 左辺の絶対値は $3$ を超えないので、解であるためには $|2\ln(x-1)|\le 3$、すなわち

   $\ln(x-1)\le 1.5\;\Longrightarrow\;x\le 1+e^{1.5}\approx 5.4817$

   が必要である。これにより、際限のない探索が有限区間 $(1,\,5.4817]$ の探索に変わる。「すべての解を求めよ」という問いに答えられるようになるのは、この一歩のおかげである。

3. 3

   $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ の符号変化を突き止める。 区間を走査すると、$F$ の符号はちょうど 3 回変わる：

   $F(1.2)>0>F(1.35),\qquad F(2.4)<0<F(2.6),\qquad F(3.5)>0>F(3.7)$

   $3.7$ から $5.48$ の間ではすでに対数が優勢で $F$ は負のままなので、4 つ目の交点は存在しない。

4. 4

   各解を二分法で精密化する。 はさみ込んだ区間を繰り返し半分にしていくと

   $x_1\approx 1.283776,\qquad x_2\approx 2.490960,\qquad x_3\approx 3.584299$

   が得られる。

5. 5

   代入して各解を検算する。 3 つの値で $F$ を評価すると $-7.6\times 10^{-7}$、$-2.2\times 10^{-6}$、$+1.6\times 10^{-6}$ となり、小数第 6 位までの入力がもつ丸め幅の範囲でゼロである $\checkmark$。対照的に、近くの値 $1.41538$、$2.40898$、$3.55226$ では $F=-1.099$、$-0.370$、$+0.170$ とゼロから大きく離れており、解ではない。