n = 1 から無限大までの (1 + x/n²) の無限積が、すべての x > 0 で収束することを示し、x → ∞ のときのその対数を √x で割った量の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積を級数に直す。 すべての因子が$1$より大きいので、この無限積が収束することと$\ln P(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)$が収束することは同値である。積を直接評価するのは難しいが、対数を取れば比較判定法が使えるようになる。

2. 2

   $p$級数と比較する。 $u\ge 0$に対する初等的な評価$\ln(1+u)\le u$から$0\le\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)\le\frac{x}{n^2}.$

   $\sum 1/n^2=\pi^2/6$は収束するので、比較判定法により固定した任意の$x>0$について$\ln P(x)$は収束し、したがって無限積も収束する。

3. 3

   閉じた形を見抜く。 双曲線正弦に対するオイラーの積表示$\frac{\sinh(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right),$を$z=\sqrt{x}$に適用すると$P(x)=\frac{\sinh(\pi\sqrt{x})}{\pi\sqrt{x}}.$

   $x=2$では両辺とも$9.56675$、$x=9$では両辺とも$657.397$になる。

4. 4

   対数を取って増大度を取り出す。 $\sinh w=\tfrac12(e^{w}-e^{-w})$を使うと$\ln P(x)=\pi\sqrt{x}-\ln 2-\ln\!\left(\pi\sqrt{x}\right)+\ln\!\left(1-e^{-2\pi\sqrt{x}}\right).$主要項は$\pi\sqrt{x}$であり、残りはすべて$O(\ln x)$である。

5. 5

   $\sqrt{x}$で割って極限に移る。 $\frac{\ln P(x)}{\sqrt{x}}=\pi-\frac{\ln 2+\ln(\pi\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+o(1)\longrightarrow\pi.$同じことだが、この和は刻み幅$1/\sqrt{x}$のリーマン和として$\int_0^{\infty}\ln(1+t^{-2})\,dt=\pi$に対応している。$x=10^{6}$で直接和を取ると$3.13285$となり、$\ln x/\sqrt{x}$の補正項が示すとおりゆっくりと$\pi$に近づいていく。