x² − 13 × x^(2/4) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   指数を既約分数に直す。 $\tfrac{2}{4} = \tfrac12$なので$x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$であり、被積分関数は

   $x^2 - 13\sqrt{x}$

   となる。約分せずに残しても間違いではないが、次の段階の$n+1$の計算が無用に面倒になる。

2. 2

   線形性で積分を分ける。

   $\int \left(x^2 - 13x^{1/2}\right)dx = \int x^2\,dx - 13\int x^{1/2}\,dx$

3. 3

   各項にべき乗則を適用する。 $\int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$を使う（どちらの指数も$-1$ではないので使える）：

   $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, \qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

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   係数を掛ける。

   $-13 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = -\frac{26}{3}x^{3/2}$

5. 5

   答えをまとめる。

   $\int \left(x^2 - 13\sqrt{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{26}{3}x^{3/2} + C$

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   微分して確かめる。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^3}{3}\right) = x^2$、$\tfrac{d}{dx}\left(-\tfrac{26}{3}x^{3/2}\right) = -\tfrac{26}{3}\cdot\tfrac32 x^{1/2} = -13\sqrt{x}$。導関数はもとの被積分関数をそのまま返す。定義域にも注意：$\sqrt{x}$のため$x \ge 0$が必要である。