x → ∞ のときの √((36x² − 25x + 16)/(9x² − 4x + 1)) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず根号の中身を処理する。 平方根は$[0,\infty)$上で連続なので、内側の極限が存在して非負である限り

   $\lim_{x\to\infty}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} g(x)}$

   が成り立つ。したがって有理関数のほうを先に計算し、最後に一度だけ根号を取ればよい。

2. 2

   分子と分母を最高次の$x^2$で割る。 これは無限大での極限に対する定石であり、低次の項をすべて消える形に変えてくれる：

   $\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36 - \dfrac{25}{x} + \dfrac{16}{x^2}}{9 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$

3. 3

   逆数の項を0に飛ばす。 $x\to\infty$のとき$\tfrac{25}{x}$、$\tfrac{16}{x^2}$、$\tfrac{4}{x}$、$\tfrac{1}{x^2}$はいずれも$0$に近づく：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36}{9} = 4$

   分子と分母の次数が等しいので、極限は最高次の係数の比そのものになる。

4. 4

   平方根を取る。

   $\sqrt{4} = 2$

   答えは主値である$+2$である。$\pm$としてはいけない——ここで扱っている式は最初から最後まで非負の平方根だからである。

5. 5

   うっかりやりたくなる近道に注意する。 $\sqrt{36x^2}/\sqrt{9x^2} = 6x/3x = 2$と書いてもたまたま正しい値になるが、それは最高次の係数がどちらも平方数で、かつ$x > 0$だからにすぎない。安全な道は常に、先に根号の中を簡約することである。

6. 6

   数値で検証する。 $x = 1000$では分子$= 36{,}000{,}000 - 25{,}000 + 16 = 35{,}975{,}016$、分母$= 9{,}000{,}000 - 4{,}000 + 1 = 8{,}996{,}001$、比$= 3.999001$、平方根$= 1.999750$。$x = 10^6$では平方根が$1.99999975$になる ✓——$2$に近づいており、記号的に極限を取るとちょうど$2$になる。