x → 2 のときの 3x³ + 5x² + 4x − 10 の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   どんな関数の極限を取っているのかを確認する。 式$3x^3+5x^2+4x-10$は多項式である。多項式は$x$と定数の和と積だけから作られており、そのような関数はすべての実数で連続である。$a$における連続性とは、まさに

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   という主張そのものである。したがってここでは代数的な工夫は一切不要であり、問題は値の計算に帰着する。

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   $x=2$を各項に別々に代入する。 項ごとに進めれば計算を取り違えにくい：

   $3(2)^3=3\cdot 8=24,\qquad 5(2)^2=5\cdot 4=20,\qquad 4(2)=8,\qquad -10$

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   4つを足し合わせる。

   $24+20+8-10=42$

   よって

   $\lim_{x\to 2}\left(3x^3+5x^2+4x-10\right)=42$

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   代入が正当だったことを確認する。 直接代入が失敗するのは$\tfrac00$や$\tfrac{c}{0}$のような定義されない形が出るときだけである。ここでは有限の値$42$が出たので、解消すべき不定性は何もない——因数分解も共役も、ロピタルの定理も不要である。

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   両側から検算する。 $x=2$から少しずらして多項式を評価すると$f(1.99)\approx 41.4023$、$f(2.01)\approx 42.6023$であり、値は下からも上からも$42$に寄っていく。これがまさに両側極限が$42$であるということの姿である。