y = 0 から √3/2 まで、x = 1 − √(1 − y²) から √(1 − y²) までの x + xy dx dy の積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分の前に領域を把握する。 外側の端 $x=\sqrt{1-y^2}$ は原点中心の単位円の右半分、内側の端 $x=1-\sqrt{1-y^2}$ は $(1,0)$ 中心の単位円の左側の弧である。したがって領域は 2 つの円弧に挟まれた横向きの帯で、$y=0$ から $y=\tfrac{\sqrt3}{2}$ までである。

2. 2

   被積分関数を因数分解し、x について定数のものを外に出す。 $x+xy = x(1+y)$ であり、$1+y$ は $x$ を含まない： $I = \int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\left(\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x\,dx\right)dy.$

3. 3

   内側の積分を平方の差の近道で処理する。 $a=\sqrt{1-y^2}$ と書くと $\int_{1-a}^{a} x\,dx = \frac{a^2-(1-a)^2}{2} = \frac{2a-1}{2} = a-\frac12 = \sqrt{1-y^2}-\frac12.$ $(1-a)^2$ を展開して $a^2$ を打ち消すことが、これほどきれいにまとまる理由である。

4. 4

   残った 1 変数の積分を分ける。 $I = \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_1} + \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2} y\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_2} - \underbrace{\frac12\int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\,dy}_{B}.$

5. 5

   3 つの部分を計算する。 $A_1$ には標準的な原始関数 $\tfrac12\left(y\sqrt{1-y^2}+\arcsin y\right)$ を使う。$\arcsin\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\pi}{3}$ より $\tfrac{\sqrt3}{8}+\tfrac{\pi}{6}$ となる。$A_2$ には $u=1-y^2$ を使い、$-\tfrac13(1-y^2)^{3/2}$ を $0$ から $\tfrac{\sqrt3}{2}$ まで評価して $\tfrac13-\tfrac{1}{24}=\tfrac{7}{24}$ を得る。そして $B = \tfrac12\left(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac38\right) = \tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac{3}{16}$ である。

6. 6

   同類項をまとめる。 $\sqrt3$ の項は $\tfrac{\sqrt3}{8}-\tfrac{\sqrt3}{4} = -\tfrac{\sqrt3}{8}$、有理数の項は $\tfrac{7}{24}-\tfrac{3}{16} = \tfrac{14-9}{48} = \tfrac{5}{48}$ となる。よって $I = \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{5}{48} \approx 0.411259.$

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   数値求積で確認する。 内側の積分結果の関数 $(1+y)\left(\sqrt{1-y^2}-\tfrac12\right)$ を $[0,\tfrac{\sqrt3}{2}]$ 上で数値積分すると $0.4112590913$ となり、閉じた形と小数第 10 位まで一致する。