x→0 のときの (tan x / x)^(1/x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形の種類を特定する。 $x\to0$ のとき $\tan x\sim x$ なので底は $\tfrac{\tan x}{x}\to1$、一方で指数は $\tfrac1x\to\pm\infty$ となる。これが $1^{\infty}$ である。$1$ をわずかに超える底を巨大な冪乗すればどこへでも行きうるので、本当に不定である。

2. 2

   対数をとって指数を下ろす。 極限を $L$ とおくと

   $\ln L=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)$

   となる。問題は結局、底が $1$ に近づく速さと指数が発散する速さのどちらが勝つか、という比較に帰着する。

3. 3

   底を十分な位数まで展開する。 $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$ より

   $\frac{\tan x}{x}=1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)$

   となる。鍵になるのは $x^2$ である。底は 2 次のオーダーで $1$ に近づき、指数が $x$ の 1 乗で発散するよりも速い。

4. 4

   $\ln(1+u)\approx u$ を使う。 $u=\tfrac{x^2}{3}+O(x^4)$ とすると

   $\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x^2}{3}+O(x^4)\;\Longrightarrow\;\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x}{3}+O(x^3)$

5. 5

   極限をとって対数を外す。 $\tfrac{x}{3}\to0$ が両側から成り立つので $\ln L=0$ であり

   $L=e^{0}=1$

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   両側から数値で確認する。 $x=0.001$ では式の値は $1.000333$、$x=-0.001$ では $0.999667$ である。$x\to0$ のときどちらも $1$ に向かって挟み込まれ、両側が一致することで極限の存在が確かめられる ✓。