曲線 y = −2x²eˣ について、切片・極値・x → ±∞ での挙動を調べよ。

Step-by-step solution

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   まず関数全体の符号を確定させる。 任意の実数 $x$ に対して $x^2\ge0$、$e^x>0$ なので

   $-2x^2e^x\le0$

   したがって曲線は全体が $x$ 軸上またはその下にあり、軸に接するのは $x^2=0$ となるところだけである。微分の前にこれを知っておけば、概形の半分は決まってしまう。

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   切片を求める。 $y=0$ とおくと、$e^x$ は決して 0 にならないので $x^2=0$、すなわち $x=0$ が必要である。$x$ 切片も $y$ 切片も、ただ 1 つの点 $(0,0)$ である。

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   積の微分法で微分する。 $u=-2x^2$、$v=e^x$ とすると：

   $y'=-4xe^x+\left(-2x^2\right)e^x=-2e^x\left(x^2+2x\right)=-2e^xx(x+2)$

   $-2e^x$ をくくり出すと、臨界点が一目で読める。

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   臨界点を求める。 $e^x\neq0$ なので、$y'=0$ には $x(x+2)=0$ が必要である：

   $x=0\qquad\text{または}\qquad x=-2$

   $x=0$ では $y=0$。$x=-2$ では

   $y=-2(-2)^2e^{-2}=-8e^{-2}=-\frac{8}{e^2}\approx-1.083$

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   y′ の符号から分類する。 因子 $-2e^x$ は常に負なので、$y'$ の符号は $x(x+2)$ と逆になる。すなわち $x<-2$ で負、$-2<x<0$ で正、$x>0$ で負である。よって曲線は下がって、上がって、また下がる——$\left(-2,-\tfrac{8}{e^2}\right)$ で極小、$(0,0)$ で極大である。極大値 $0$ は最大値でもあり、ステップ 1 と整合する。

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   両端での挙動を調べる。 $x\to-\infty$ では $e^x\to0$ が $x^2\to\infty$ の増大よりはるかに速いので $y\to0^-$ となり、$x$ 軸が水平漸近線で、下から近づく。$x\to+\infty$ ではどちらの因子も増大して $y\to-\infty$ となり、急激に落ちていく。したがって全体の形は、左遠方では軸の下側に寄り添い、$x=-2$ で $-1.083$ まで沈み、また上がって原点に接し、そこから際限なく落ちていく、というものである。

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   主要な数値を検証する。 刻み $10^{-7}$ の中心差分商は $x=-3,-1,0.5,2$ で $y'=-2e^xx(x+2)$ と一致する ✓。標本値：$y(-4)=-0.586$、$y(-3)=-0.896$、$y(-2)=-1.083$、$y(-1)=-0.736$、$y(1)=-5.437$、$y(2)=-59.112$ ——すべて計算し直し、$x=-2$ での沈み込みと右側の急降下の両方を確認した ✓。