R³ 全体で exp(−α(x² + y² + z²)) に、a cos(xξ + yη + zζ) と b sin(xξ + yη + zζ) と c(x² + y² + z²) の和を掛けたものの三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   ベクトル記法に移し、3 つの積分に分ける。 $\mathbf{x} = (x,y,z)$、$\mathbf{k} = (\xi,\eta,\zeta)$、$r = \|\mathbf{x}\|$、$k = \|\mathbf{k}\|$ と書く。すると $x\xi + y\eta + z\zeta = \mathbf{x}\cdot\mathbf{k}$ であり、

   $I = aI_1 + bI_2 + cI_3$

   となる。ここで $I_1 = \iiint e^{-\alpha r^2}\cos(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})\,d^3x$、$I_2$ は同じもので正弦、$I_3 = \iiint e^{-\alpha r^2} r^2\,d^3x$ である。3 つとも収束するのは条件 $\alpha > 0$ のおかげである。

2. 2

   偶奇性で正弦の項を消す。 $\mathbf{x} \mapsto -\mathbf{x}$ の下でガウス因子 $e^{-\alpha r^2}$ は変わらないのに $\sin(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})$ は符号を変えるので、原点について対称な領域の上で被積分関数は奇関数になる：

   $I_2 = 0$

   したがって係数 $b$ は答えにいっさい現れない。

3. 3

   余弦の項をフーリエ変換として計算する。 3 次元ガウス関数の標準的な変換は

   $\iiint_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2} e^{i\mathbf{x}\cdot\mathbf{k}}\,d^3x = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

   である（平方完成すれば各直交方向が $\sqrt{\pi/\alpha}\,e^{-k_i^2/4\alpha}$ を与える）。実部をとると——虚部はまさに $I_2 = 0$ である——

   $I_1 = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

   が得られる。

4. 4

   r² の項を球座標で計算する。 被積分関数は $r$ だけに依存するので $d^3x = 4\pi r^2\,dr$ となる：

   $I_3 = 4\pi\int_0^{\infty} r^4 e^{-\alpha r^2}\,dr$

   置換 $u = \alpha r^2$ によりこれはガンマ積分になる：

   $\int_0^\infty r^4 e^{-\alpha r^2}dr = \frac{\Gamma(5/2)}{2\alpha^{5/2}} = \frac{3\sqrt{\pi}}{8\alpha^{5/2}}$

   ここで $\Gamma(5/2) = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}$ を用いた。したがって $I_3 = \dfrac{3\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$ である。

5. 5

   結果を組み立てる。

   $I = a\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-(\xi^2+\eta^2+\zeta^2)/(4\alpha)} + \frac{3c\,\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$

   構造に注目したい。$a$ の部分は $k$ について減衰する（周波数空間でのガウス関数）のに対し、$c$ の部分は $\mathbf{k}$ によらない純粋な定数である。

6. 6

   数値で検証する。 $\alpha = 0.7$、$\mathbf{k} = (0.3, -0.5, 1.1)$、$a = 1.3$、$b = 2.1$、$c = 0.9$ とすると、閉じた形は $25.4420947$ を与える。$[-6,6]^3$ 上の $90$ 点ガウス・ルジャンドル格子（ガウス関数はこれより外では無視できる）でも $25.4420947$ となり、$b = 2.1$ の項が何も寄与しないことも含めて 8 桁まで一致する。