x → π/2 のときの (sin3x − cos2x)/(2x − π)² の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認する。 $x=\frac{\pi}{2}$では$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$、$\cos\pi=-1$なので分子は$-1-(-1)=0$であり、分母も$0$になる——形は$\frac{0}{0}$である。

2. 2

   変数をずらす。 $t\to 0$として$x=\frac{\pi}{2}+t$とおく。分母は$(2t)^2=4t^2$になるので、極限が有限になるには分子が2次まで消えていなければならない。

3. 3

   分子を書き直す。 $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3t\right)=-\cos 3t$、$\cos(\pi+2t)=-\cos 2t$なので、分子は$-\cos 3t+\cos 2t=\cos 2t-\cos 3t$になる。

4. 4

   2つの余弦を2次まで展開する。 $\cos 2t\approx 1-2t^2$、$\cos 3t\approx 1-\frac{9}{2}t^2$なので、$\cos 2t-\cos 3t\approx\frac{9}{2}t^2-2t^2=\frac{5}{2}t^2$となる。$\frac{0}{0}$の形が要求したとおり、定数項が打ち消し合う。

5. 5

   比を作る。 $\frac{\frac{5}{2}t^2}{4t^2}=\frac{5}{8}$は$t$によらないので、極限は$\frac{5}{8}$である。

6. 6

   数値による確認。 $x=\frac{\pi}{2}+10^{-4}$でもとの式を評価すると$0.6249999932$となり、$\frac{5}{8}=0.625$と一致する。