(x + 3)/(x² − 5x + 6) の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   手法を決めるためにまず分母を因数分解する。

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   相異なる1次因子が2つということは、被積分関数が定数を分子とする2つの単純な分数に分かれるということであり、重根や既約2次式の面倒は生じない。分子の次数（$1$）はすでに分母の次数（$2$）より低いので、あらかじめ割り算をしておく必要もない。

2. 2

   部分分数分解の形を立てる。

   $\frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

   両辺に$(x-2)(x-3)$を掛けて分母を払うと：

   $x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)$

3. 3

   根を代入して A と B を求める。 最も速いのは、片方の括弧を消す値を順に代入することである。$x = 3$とすると：

   $6 = B(3 - 2) \ \Longrightarrow \ B = 6$

   $x = 2$とすると：

   $5 = A(2 - 3) \ \Longrightarrow \ A = -5$

   （係数を比較しても同じ連立$A + B = 1$、$-3A - 2B = 3$が得られる。）

4. 4

   積分する前に分解を検算する。 $A = -5$、$B = 6$として：

   $\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{-5(x-3) + 6(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} \ \checkmark$

   ここでの検算は1行で済み、符号の誤りが積分にまで波及する前に捕まえられる。

5. 5

   各項を積分する。 どちらも$\int \frac{k}{x - a}\,dx = k\ln|x - a|$の形である：

   $\int \left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right) dx = -5\ln|x - 2| + 6\ln|x - 3| + C$

   絶対値は重要である：この原始関数が有効なのは$x < 2$、$2 < x < 3$、$x > 3$という3つの区間のそれぞれの上で別々にである。

6. 6

   最後に微分して確かめる。

   $\frac{d}{dx}\left(-5\ln|x-2| + 6\ln|x-3|\right) = \frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{x+3}{x^2 - 5x + 6} \ \checkmark$

   $x = 5$での数値確認ではどちらの形からも$\frac{8}{6} = 1.3\overline{3}$が得られる。答えは$\ln\left|\frac{(x-3)^6}{(x-2)^5}\right| + C$と書くこともできる。