4e^(2x) − sin(2x) の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   線形性で積分を分ける。 積分は和や差に対して分配でき、定数は前に出せる：

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=4\int e^{2x}\,dx-\int\sin 2x\,dx$

   どちらの部分も、内側が1次式$2x$である標準形になった。

2. 2

   内側が1次式のときの逆向きの合成関数の微分法を思い出す。 $e^{2x}$を微分すると余分な因子$2$が出るので、積分するときはその分だけ割らなければならない：

   $\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C,\qquad \int\sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

   この割り算が最も忘れられやすい段階であり、ここでは答えが2倍ずれてしまう。

3. 3

   指数関数の項を積分する。

   $4\int e^{2x}dx=4\cdot\frac12 e^{2x}=2e^{2x}$

4. 4

   2つのマイナス符号を追いながら正弦の項を積分する。 公式から1つ、もとの式からもう1つマイナスが出る：

   $-\int\sin 2x\,dx=-\left(-\frac12\cos 2x\right)=+\frac12\cos 2x$

   結果は$-\tfrac12\cos 2x$ではなく$+\tfrac12\cos 2x$である。

5. 5

   まとめて積分定数を加える。

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=2e^{2x}+\frac12\cos 2x+C$

6. 6

   微分して検算する。 $\frac{d}{dx}\left(2e^{2x}\right)=4e^{2x}$、$\frac{d}{dx}\left(\tfrac12\cos 2x\right)=-\sin 2x$であり、被積分関数がそのまま再現される。数値でも$x=0.6$のとき答えの導関数は$12.34843$、被積分関数も$12.34843$である ✓。