x→0 のとき (sin 3x + x)/(x + sin 5x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形を判定する。 $\sin 3x+x$ も $x+\sin 5x$ も $x=0$ で消えるので、これは $\frac{0}{0}$ の形である。

2. 2

   基本となる極限を思い出す。 任意の定数 $k$ に対して $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ が成り立つ。これは $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$ と $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$ から従う。

3. 3

   分子と分母を $x$ で割る。 $x\neq 0$ のとき、この商は $\frac{\frac{\sin 3x}{x}+1}{1+\frac{\sin 5x}{x}}$ に等しい。$x$ で割るのが定石なのは、各項が先ほどの既知の極限の形に変わるからである。

4. 4

   項ごとに極限をとる。 分子は $3+1=4$ に、分母は $1+5=6$ に近づく。どちらの極限も存在し、分母の極限が 0 でないので、商についての極限の法則が使える。

5. 5

   比を計算する。 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ となる。

6. 6

   数値で検証する。 $x=10^{-6}$ のとき元の式の値は $0.66666667$ となり、$\frac{2}{3}$ と一致する。