θ = 0 から x まで、r = 0 から 1/2 までの、(r³ sinθ cosθ + (1/3) r² sinθ) の絶対値の dr dθ 積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   絶対値の中の式を因数分解する。 $r^3\sin\theta\cos\theta+\frac13r^2\sin\theta = r^2\sin\theta\left(r\cos\theta+\frac13\right).$ 先に因数分解しておくことで、$r$ についての場合分けなしに符号を決められる。

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   定義域上での符号を確定する。 $r^2\ge0$ はつねに成り立つ。$0\le\theta\le x\le\tfrac{\pi}{2}$ では $\sin\theta\ge0$、$\cos\theta\ge0$ なので $r\cos\theta+\tfrac13\ge\tfrac13>0$ である。どの因子も非負なので、絶対値を外してよい。（$x>\tfrac{\pi}{2}$ ではかっこの中が $r\cos\theta<-\tfrac13$ となったところで負になりうるので、問題は場合分けに分かれてしまう。）

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   θ を定数として r で積分する。 $\int_0^{1/2}r^3\,dr = \frac{1}{64},\qquad \int_0^{1/2}r^2\,dr = \frac{1}{24},$ なので、$\tfrac13\cdot\tfrac1{24} = \tfrac1{72}$ を使うと内側の積分は $\frac{\sin\theta\cos\theta}{64}+\frac{\sin\theta}{72},$ となる。

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   1 つ目を θ で積分する。 $u=\sin\theta$ とおくと $\int_0^x\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin^2x}{2},$ なので、この部分の寄与は $\dfrac{\sin^2x}{128}$ である。

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   2 つ目を積分する。 $\int_0^x\sin\theta\,d\theta = 1-\cos x,$ なので寄与は $\dfrac{1-\cos x}{72}$ である。

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   合わせて確認する。 $\int_0^x\!\!\int_0^{1/2}\left|\cdots\right|dr\,d\theta = \frac{\sin^2x}{128}+\frac{1-\cos x}{72}.$ $x=1.1$ では閉じた形が $0.0137940252$ を与え、もとの絶対値つき被積分関数の入れ子の数値求積も $0.0137940252$ を返す——小数第 10 位まで一致する。$x=0$ ではどちらも $0$ で、当然そうでなければならない。