y = log(sin x) を x について微分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   合成の構造を見抜く。 この関数は三角関数を対数で包んだもの、つまり内側の関数を $u=\sin x$ とする $\ln u$ である。よって対数の公式ではなく合成関数の微分を使う。

2. 2

   合成関数の微分を書き下す。 $y=\ln u$ に対して $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}.$

3. 3

   内側の関数を微分する。 $u=\sin x$ なので $\dfrac{du}{dx}=\cos x$ である。

4. 4

   代入して整理する。 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.$

5. 5

   定義域を確認して検算する。 もとの関数には $\sin x>0$ が必要なので、導関数 $\cot x$ もその区間の上で述べる。$x=1$ では導関数は $\cot 1\approx 0.642093$ であり、$x=1$ における $\ln(\sin x)$ の数値的な差分商と一致する。