曲線 x³ + y³ = 3xy のループで囲まれた領域上での (x + y)/(x² + y²) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   境界の曲線を極形式に直す。 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ とすると曲線 $x^3+y^3=3xy$ は $r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3r^2\cos\theta\sin\theta$ となるので、$r\neq0$ では

   $r_{\max}(\theta)=\frac{3\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$

   となる。これは $\theta=0$ と $\theta=\pi/2$ で 0 になり、その間では正なので、$\theta\in[0,\pi/2]$ はちょうどループ——葉線の有界な部分——をなぞる。

2. 2

   被積分関数を変換し、ヤコビアンが約分される様子を見る。

   $\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{r^2}=\frac{\cos\theta+\sin\theta}{r}$

   $dA=r\,dr\,d\theta$ なので、ヤコビアンの $r$ が $1/r$ を打ち消す。極座標での被積分関数から $r$ が完全に消えるのである。この扱いにくい領域が手に負えるのはそのためである。

3. 3

   内側の積分を 1 行で済ませる。 $r$ 依存性が残っていないので

   $I=\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,r_{\max}(\theta)\,d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\,d\theta$

4. 4

   3 乗の和の公式で約分する。 $\cos^3\theta+\sin^3\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(1-\cos\theta\sin\theta)$ である（真ん中の因子は $\cos^2+\sin^2=1$ で簡単になる）から、因子 $\cos\theta+\sin\theta$ が約分されて

   $I=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}\,d\theta$

   となる。$1-\cos\theta\sin\theta\ge\tfrac12$ なので、この積分は広義積分ではない——どこも発散しない。

5. 5

   標準的なワイエルシュトラス型の積分に帰着させる。 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$ と書き、$\varphi=2\theta$ と置換すると：

   $I=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{3\sin\varphi}{2-\sin\varphi}\,d\varphi=\frac{3}{2}\left[-\pi+2\int_0^{\pi}\frac{d\varphi}{2-\sin\varphi}\right]$

   となる。半角の置換 $t=\tan(\varphi/2)$ により、残った積分は $\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2-t+1}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}$ になる。

6. 6

   閉じた形を組み立て、数値で確認する。

   $I=\frac{3}{2}\left(-\pi+\frac{8\pi}{3\sqrt3}\right)=\frac{4\pi}{\sqrt3}-\frac{3\pi}{2}=\frac{4\sqrt3\,\pi}{3}-\frac{3\pi}{2}$

   数値では $7.255197-4.712389=2.5428085$ となり、$\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}d\theta$ に直接シンプソン則を当てた値と小数第 7 位まで一致する ✓。