ln x の x について 0 から 1 までの積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   計算を始める前に、これが広義積分であることに気づく。 $x\to0^+$のとき$\ln x\to-\infty$なので、下端で被積分関数は有界でない。よってこの積分は極限として定義しなければならない：

   $\int_0^1\ln x\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\ln x\,dx$

   これを飛ばして$0$をそのまま代入すると、定義されない式$0\cdot\ln 0$が出てきてしまう。

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   部分積分で原始関数を求める。 $u=\ln x$、$dv=dx$と取ると$du=\tfrac{dx}{x}$、$v=x$なので：

   $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+C$

   うまくいく鍵は$dv=dx$と選んだ点にある。これにより$\ln x$が$1/x$に変わり、$v=x$と約分されるからである。

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   $[a,1]$上で値を出す。

   $\int_a^1\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_a^1=(0-1)-(a\ln a-a)=-1-a\ln a+a$

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   特異点のある端で極限を取る。 微妙なのは$a\ln a$の項だけである。これを$\dfrac{\ln a}{1/a}$と書いてロピタルの定理を適用すると$\dfrac{1/a}{-1/a^2}=-a\to0$となる。よって

   $\lim_{a\to0^+}\left(-1-a\ln a+a\right)=-1$

   被積分関数が発散していても積分は収束する——特異性が対数的であり、対数の特異点は積分可能だからである。

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   符号と大きさを検算する。 $(0,1)$では$\ln x<0$なので、答えが負になるのは想定どおりである。したがって$[0,1]$上での$\ln x$の平均値は$-1$であり、$\ln x$がその平均に等しくなる点として$e^{-1}\approx0.368$が対応する——グラフとも整合する ✓。