x → 0 のときの (eˣ − 1)/x の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   形を確認する。 $x=0$を代入すると$\dfrac{e^0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$となり不定形である。直接代入は使えないので、定石のいずれかで極限を確立しなければならない。

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   方法 1——微分係数として見抜く。 $f(x)=e^{x}$の点$0$における差分商がまさにこの式である：

   $f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

   $f^{\prime}(x)=e^{x}$、$f^{\prime}(0)=e^{0}=1$なので、極限は$1$である。これが最も根本的な見方である：この極限こそが、$e^x$の原点における傾きが$1$であるという主張なのである。

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   方法 2——マクローリン級数を使う。 $e^{x}=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$から、

   $\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots\longrightarrow 1$

   この道筋は極限以上のことを教えてくれる：商が$1+\tfrac{x}{2}$のように1次で$1$に近づくことまで分かる。

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   方法 3——ロピタルの定理。 分子と分母を別々に微分すると：

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}=1$

   ただしこれをこの結果の証明に使うと軽い循環論法になる点には注意したい。$\tfrac{d}{dx}e^x$を求めること自体が、まさにこの極限に依拠しているからである。計算としては即座で正しい。

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   数値で確認し、両側の一致を見る。 $x=0.001$では商は$1.0005002$、$x=-0.001$では$0.9995002$である。どちらの側も$1$に近づいており、そのずれは$\pm 0.0005\approx\tfrac{x}{2}$と、級数が予測したとおりである$\checkmark$。