g(x) = e^x · ln(x² + 1) / (√(sin x) + 2) を微分し、結果を整理せよ。

Step-by-step solution

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   微分に取りかかる前に構造を把握する。 これは商であり、その分子自体が積、分母には合成関数が隠れている。部品に名前をつけると管理が楽になる：

   $g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\qquad u(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right),\qquad v(x)=\sqrt{\sin x}+2$

   そして外側で使う道具は商の微分法である：

   $g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^{2}}$

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   分子を積の微分法と、その内側の合成関数の微分で処理する。 $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$、$\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$（$x^{2}+1$ の $\ln$ に対する合成関数の微分）より：

   $u'(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)+e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)$

   ここで $e^{x}$ をすぐくくり出しておくと、あとの計算が短くなる。

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   分母を微分する。 $\sqrt{\sin x}=\left(\sin x\right)^{1/2}$ と書いて合成関数の微分を当てる。定数の $2$ は何も寄与しない：

   $v'(x)=\frac{1}{2}\left(\sin x\right)^{-1/2}\cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

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   商の微分法に組み込む。 4 つの部品を代入して：

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)\cdot\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

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   共通因子 $e^{x}$ をくくり出して整理する。 分子の 2 つの項はどちらも $e^{x}$ を持つので、外に出す：

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left[\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\right]}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

   対数と根号は共通の因子を持たないので、これ以上の約分はできない。

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   定義域を確認し、数値で検算する。 この式には $\sin x>0$ が必要である——非負では足りず狭義に正でなければならない。微分したあと $\sqrt{\sin x}$ が分母に来るからである。したがって $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$ となる。$h=10^{-6}$ とした $g$ の中心差分と比べると、$x=0.5,1,2,2.9$ で式と数値微分のどちらも $0.5943697$、$1.5124325$、$6.3252411$、$27.3951392$ を与え、有効数字 7 桁まで一致する。