x = 0 から x = 1 まで、x について √(x − x⁴) を定積分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   根号の中を因数分解する。 $x-x^{4}=x\left(1-x^{3}\right)$ と書くと、被積分関数は独立した 2 つのべきに分かれる：

   $I=\int_{0}^{1}x^{1/2}\left(1-x^{3}\right)^{1/2}dx.$

   $[0,1]$ 上ではどちらの因子も非負なので平方根は全域で実数であり、この積分は広義積分ではない。$x^{p}(1-x^{q})^{r}$ という形はベータ関数型の積分の目印である。

2. 2

   ベータ関数の形に合わせて $u=x^{3}$ と置換する。 すると $x=u^{1/3}$、$du=3x^{2}dx$ より $dx=\tfrac13u^{-2/3}du$、そして $x^{1/2}=u^{1/6}$ となる。積分区間は $0\to0$、$1\to1$ で変わらない：

   $I=\int_{0}^{1}u^{1/6}(1-u)^{1/2}\cdot\tfrac13u^{-2/3}\,du.$

3. 3

   $u$ のべきをまとめる。 指数を足すと

   $\frac16-\frac23=\frac16-\frac46=-\frac12,$

   なので

   $I=\frac13\int_{0}^{1}u^{-1/2}(1-u)^{1/2}\,du.$

   これはまさにベータ積分 $B(a,b)=\int_{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{b-1}du$ で $a-1=-\tfrac12$、$b-1=\tfrac12$、すなわち $a=\tfrac12$、$b=\tfrac32$ の場合である。

4. 4

   ガンマ関数で値を求める。 $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$ と $\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}$、$\Gamma\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$、$\Gamma(2)=1$ を使うと：

   $I=\frac13\cdot\frac{\sqrt{\pi}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{1}=\frac13\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}.$

5. 5

   数値で確認する。 $[0,1]$ を 200 万分割した複合シンプソン則は $0.52359878$ を与え、$\frac{\pi}{6}=0.52359878$ と一致する ✓。一致の精度が少し制限されるのは両端で導関数が平方根型の特異性を持つためであり、ここでベータ関数を経由する道のほうが数値積分より優れているのはまさにその理由による。