y = arctan(e^(−a/2)) を a について微分し、結果を整理せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   内側の変数を明示して合成関数の微分を組み立てる。

   $u=e^{-a/2},\qquad y=\tan^{-1}(u).$

   とおく。逆正接の導関数は $\frac{d}{du}\tan^{-1}u=\frac{1}{1+u^{2}}$ なので

   $\frac{dy}{da}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{da}.$

2. 2

   内側の指数関数を微分する。 指数は $a$ の 1 次式で傾きが $-\tfrac12$ なので

   $\frac{du}{da}=-\frac12 e^{-a/2}.$

   この $-\tfrac12$ という因子がこのステップの内容のすべてである。指数関数が微分しても自分自身になるのは、指数がちょうど $a$ のときだけである。

3. 3

   内側を 2 乗する——ここで指数がまとまる。 $\left(e^{-a/2}\right)^{2}=e^{-a}$ なので

   $1+u^{2}=1+e^{-a}.$

   $u^{2}$ を $\left(e^{-a/2}\right)^{2}$ のまま残さず $e^{-a}$ と書くことが、最後の整理を可能にする。指数を半分にしてから 2 乗する構造こそ、答えがこれほどきれいになる理由である。

4. 4

   まとめて導関数にする。 両方の部品を代入して：

   $\frac{dy}{da}=\frac{-\tfrac12 e^{-a/2}}{1+e^{-a}}=-\frac{e^{-a/2}}{2\left(1+e^{-a}\right)}.$

   結果はどの $a$ でも負になるが、これは筋が通っている。$a$ が大きくなると $e^{-a/2}$ は減少し、$\tan^{-1}$ は増加関数なので、合成は減少しなければならない。

5. 5

   負の指数を払って整理し、検算する。 分子と分母に $e^{a}$ を掛けると：

   $\frac{dy}{da}=-\frac{e^{a/2}}{2\left(e^{a}+1\right)}.$

   2 つの形は数値でも一致する。$a=0.8$ で $y$ の中心差分は $-0.23125186$、どちらの閉じた形も $-0.23125186$ を与える ✓。$e^{-a}$ が桁落ちする大きな $a$ では、2 つ目の形のほうが好ましい。