微分方程式 y'' + y = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   指数関数の試行解 $y=e^{rx}$ を代入する。 すると $y''=r^2e^{rx}$ となり、方程式は

   $r^2e^{rx}+e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+1\right)=0$

   になる。

2. 2

   特性方程式を読み取る。 すべての実数 $x$ に対して $e^{rx}\neq 0$ なので

   $r^2+1=0\quad\Longrightarrow\quad r^2=-1\quad\Longrightarrow\quad r=\pm i$

   となる。

3. 3

   実数の一般解を書く。 型 $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$ で $\alpha=0$、$\beta=1$ とすると

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$

   となる。任意定数が 2 つあるのは 2 階の方程式としてちょうど正しく、$y(0)$ と $y'(0)$ のような 2 つの初期条件によって定まる。

4. 4

   基本解を 2 つとも検算する。 $y=\cos x$ では $y''=-\cos x$ なので $y''+y=0$ $\checkmark$。$y=\sin x$ では $y''=-\sin x$ で、やはり $0$ $\checkmark$。

5. 5

   $y''+4y=0$ と比べる。 あちらは $r=\pm 2i$ となり解は $\cos 2x,\sin 2x$ で書ける。つまり $y$ の係数は角振動数の2 乗であり、$y''+\omega^2y=0$ は $\omega$ で振動する。ここでは $\omega=1$ で、周期は $2\pi$ である。