(1 + tan²y) の y についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   項ごとに積分しようとしない。 $\int 1\,dy+\int\tan^{2}y\,dy$と分けること自体は正しいが、意味がない：第2の部分は、そもそも問題全体を解いてしまう例の相互関係を先に使わない限り、書き下せる初等的な原始関数を持たないからである。

2. 2

   三角関数の相互関係を使う。 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$から出発して各項を$\cos^2\theta$で割ると

   $\tan^{2}y+1=\sec^{2}y.$

   つまり被積分関数は単に$\sec^{2}y$である。

3. 3

   すでに知っている導関数として見抜く。

   $\frac{d}{dy}\tan y=\sec^{2}y,$

   なので積分は即座に得られる：

   $\int\sec^{2}y\,dy=\tan y+C.$

4. 4

   積分定数をつけて結果を述べる。

   $\int\left(1+\tan^{2}y\right)dy=\tan y+C.$

5. 5

   微分して検算する。 $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}$に商の微分法を使うと：

   $\frac{d}{dy}\tan y=\frac{\cos^{2}y+\sin^{2}y}{\cos^{2}y}=\frac{1}{\cos^{2}y}=\sec^{2}y=1+\tan^{2}y,$

   となり、もとの被積分関数そのものである。なお原始関数が有効なのは$\cos y\neq 0$である各区間、すなわち$\tfrac{\pi}{2}$の連続する奇数倍のあいだの区間である。