x → 0 のときの (ln(1 + 2x) − 2x)/x² の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形と必要な次数を確認する。 $x = 0$では分子が$\ln 1 - 0 = 0$、分母が$0$なので、これは$0/0$である。分母が$x^2$なので、分子は少なくとも$x^2$の次数まで展開しなければならない——1次までの展開では$0$しか出ず、何も分からない。

2. 2

   ln(1 + u) を2次まで展開する。 マクローリン級数は

   $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$

   である。$u = 2x$を代入すると：

   $\ln(1 + 2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^3) = 2x - 2x^2 + O(x^3)$

   $(2x)^2 = 4x^2$なので、2次の係数は$-\tfrac12$ではなく$-2$である点に注意したい。

3. 3

   2x を引く——1次の項は仕組みどおり打ち消される。

   $\ln(1 + 2x) - 2x = -2x^2 + O(x^3)$

   この相殺こそがこの問題の眼目である：$-2x$は、対数の2次の振る舞いを表に出すためにこそ置かれている。

4. 4

   x² で割る。

   $\frac{\ln(1 + 2x) - 2x}{x^2} = \frac{-2x^2 + O(x^3)}{x^2} = -2 + O(x)$

   $x \to 0$とすれば$O(x)$の剰余は消えるので、極限は$-2$である。

5. 5

   ロピタルの定理を1回使って検算し、整理する。 1回目の適用：

   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x}{2x(1 + 2x)}$

   これは$\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + 2x} = -2$に整理される。数値でも$x = 10^{-4}$で商は$-1.99973$、$x = -10^{-4}$で$-2.00027$となり、$-2$を挟んでいる。