z = ln( (x - sqrt(x^2 - y^2)) / (x + sqrt(x^2 - y^2)) ) の2つの1階偏導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず商の対数を対数の差に分ける。 微分する前に整理しておけば、商の微分法の計算を丸ごと省ける。$u=\sqrt{x^2-y^2}$ と置くと、

   $z=\ln(x-u)-\ln(x+u)$

   また、内側の根号の偏導関数は両方の微分で必要になるので、一度書き留めておく：

   $u_x=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{x}{u},\qquad u_y=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=-\frac{y}{u}$

   もう1つの関係式が後半の計算のほとんどを片づけてくれる：$x^2-u^2=x^2-(x^2-y^2)=y^2$。

2. 2

   $y$ を定数とみて $x$ で微分する。 各対数に連鎖律を使うと

   $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1-u_x}{x-u}-\frac{1+u_x}{x+u}=\frac{1-\dfrac{x}{u}}{x-u}-\frac{1+\dfrac{x}{u}}{x+u}$

   ここで止めて、対称に見える2つの部分が打ち消し合うと推測してはいけない。実際には打ち消し合わない。それぞれをまず簡単にする必要がある。

3. 3

   それぞれの部分を別々に簡単にする。 分子を $u$ でまとめる：

   $\frac{1-\frac{x}{u}}{x-u}=\frac{\frac{u-x}{u}}{x-u}=\frac{-(x-u)}{u(x-u)}=-\frac{1}{u}$

   $\frac{1+\frac{x}{u}}{x+u}=\frac{\frac{u+x}{u}}{x+u}=\frac{x+u}{u(x+u)}=\frac{1}{u}$

   つまり第1項は $-\tfrac1u$、第2項は $+\tfrac1u$ で、導関数はその差である：

   $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{u}=-\frac{2}{u}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}}$

   符号のミスが致命的になるのはこの場面である。$-\tfrac1u$ から $+\tfrac1u$ を引けば $-\tfrac2u$ であって $0$ ではない。

4. 4

   $x$ を定数とみて $y$ で微分する。 今度は $u$ だけが $y$ に依存する：

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-u_y}{x-u}-\frac{u_y}{x+u}=\frac{y/u}{x-u}+\frac{y/u}{x+u}=\frac{y}{u}\left(\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}\right)$

   両方の項が正になるのは、どちらも同じ因子 $-u_y=+\dfrac{y}{u}$ を持つからである。商の微分法から来るマイナス符号と $u_y=-y/u$ のマイナス符号が、互いに打ち消し合っている。

5. 5

   $x^2-u^2=y^2$ を使って2つの分数をまとめる。

   $\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}=\frac{(x+u)+(x-u)}{x^2-u^2}=\frac{2x}{y^2}$

   したがって

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u}\cdot\frac{2x}{y^2}=\frac{2x}{y\,u}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}$

6. 6

   両方の答えを数値で確かめる。 $x=3$、$y=2$ とすると $u=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2360680$ である。刻み幅 $10^{-6}$ の中心差分では

   $z_x\approx-0.8944272,\qquad z_y\approx1.3416408$

   となり、公式からは $-2/\sqrt5=-0.8944272$、$2(3)/(2\sqrt5)=1.3416408$ が得られる。どちらも小数第7位まで一致する。（よく見かける誤答 $z_x=0$ は、この検算でただちに否定される。$y$ を固定して $x$ を動かすと $z$ は実際に変化するからである。）