領域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上での sin(x²) + cos(y²) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和を 2 つの二重積分に分ける。 積分は線形なので

   $\iint \left(\sin(x^2) + \cos(y^2)\right)dA = \iint \sin(x^2)\,dA + \iint \cos(y^2)\,dA$

   となる。これが決め手である。どちらの原始関数も閉じた形では書けないが、これで各部分が 1 変数だけに依存するようになる。

2. 2

   片方の変数が現れないことを使って各部分をつぶす。 1 つ目では $\sin(x^2)$ が $y$ を含まないので、内側の $y$ 積分は区間の長さ $1$ を掛けるだけである：

   $\int_0^1\!\!\int_0^1 \sin(x^2)\,dy\,dx = \int_0^1 \sin(x^2)\left(\int_0^1 dy\right)dx = \int_0^1 \sin(x^2)\,dx$

   同じ議論（今度は $x$ を先に積分する）で 2 つ目は $\int_0^1 \cos(y^2)\,dy$ に帰着する。

3. 3

   残った積分がフレネル積分であることを見抜く。 どちらの積分変数も $t$ と書き直すと：

   $I = \int_0^1 \sin(t^2)\,dt + \int_0^1 \cos(t^2)\,dt$

   $\sin(t^2)$ も $\cos(t^2)$ も初等的な原始関数を持たず、これらがフレネル関数 $S$ と $C$ を（通常の $\pi/2$ の尺度の違いを除いて）定義する。したがって厳密な答えは $\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\left[S\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right) + C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right)\right]$ であり、実用上の答えは数値である。

4. 4

   両方を数値で評価する。 高次のガウス–ルジャンドル求積により

   $\int_0^1 \sin(t^2)\,dt = 0.3102683, \qquad \int_0^1 \cos(t^2)\,dt = 0.9045242$

   が得られる。級数展開でも大きさが確かめられる。$\sin(t^2) \approx t^2$ の積分はおよそ $\tfrac13$、$\cos(t^2) \approx 1 - \tfrac{t^4}{2}$ の積分はおよそ $1 - \tfrac{1}{10} = 0.9$ である。

5. 5

   足して 2 次元の直接求積と突き合わせる。

   $I \approx 0.3102683 + 0.9045242 = 1.2147925$

   分割せずにもとの二重積分を数値評価すると $1.21479254$ となり、小数第 8 位まで同一である。分割の正しさと 2 つの 1 次元の値の両方が裏づけられた。