微分方程式 ẋ = 4t x² の解 x(t) をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   変数分離形であることを見抜く。 右辺は（$t$ だけの関数）×（$x$ だけの関数）の形に分解できる：$4t\cdot x^2$。これがまさに変数分離ができるための条件である。

2. 2

   分離して積分する。 割り算が正当になるよう $x\ne 0$ を仮定すると、$\frac{dx}{x^2}=4t\,dt\ \Longrightarrow\ \int x^{-2}\,dx=\int 4t\,dt\ \Longrightarrow\ -\frac1x=2t^2+C_0.$

3. 3

   $x$ について解く。 両辺に $-1$ を掛けると $\dfrac1x=-2t^2-C_0$ となる。$C=-C_0$ と置き直して符号を吸収すれば $x(t)=\frac{1}{C-2t^2},\qquad C\in\mathbb{R}.$ これらの解は $C-2t^2\ne 0$ である区間の上でのみ存在する。$C>0$ のときは $t=\pm\sqrt{C/2}$ で発散する。

4. 4

   分離の過程で捨てられた解を取り戻す。 $x^2$ で割った時点で、暗黙のうちに $x\ne 0$ を仮定していた。$x(t)\equiv 0$ を直接代入して確かめると $\dot{x}=0$ かつ $4tx^2=0$ なので、方程式を満たす。これは正真正銘の解であり、しかもどんな有限の $C$ をとっても $1/(C-2t^2)$ の形にはならない。

5. 5

   解の族を検算する。 $x=(C-2t^2)^{-1}$ を微分すると $\dot{x}=-(C-2t^2)^{-2}(-4t)=\dfrac{4t}{(C-2t^2)^2}=4tx^2$ となり、確かに求める形になる。

6. 6

   解全体を書き下す。 $x(t)\equiv 0\qquad\text{または}\qquad x(t)=\frac{1}{C-2t^2}\ \ (C\in\mathbb{R}),$ であり、いずれも分母がゼロから離れている極大区間の上で定義される。