正方形 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上での √(2x − x²) と 1 − y の最大値の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   根号が円であることを見抜く。 平方完成すると $2x-x^2=1-(x-1)^2$ なので、$\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}$ は $(1,0)$ を中心とする単位半円の上半分である。$0\le x\le 1$ の上では $0$ から $1$ まで増加する。

2. 2

   置換して図を中心に寄せる。 $u=1-x$、$v=1-y$ とおく。ヤコビアンの絶対値は $1$ で、正方形はそれ自身に写るので、積分は $\iint_{[0,1]^2}\max\left\{\sqrt{1-u^2},\,v\right\}du\,dv$ になる。

3. 3

   4 分円に沿って正方形を分ける。 2 つの候補が等しくなるのは $v=\sqrt{1-u^2}$、すなわち 4 分円の上である。その下では根号のほうが大きく、上では $v$ のほうが大きい。そこで分けることが max を取り除く手立てである。

4. 4

   下側の部分を積分する。 各 $u$ について $v$ は $0$ から $\sqrt{1-u^2}$ まで動き、被積分関数は定数 $\sqrt{1-u^2}$ なので、寄与は $\int_0^1\left(1-u^2\right)du=1-\frac13=\frac23$ である。

5. 5

   上側の部分を積分する。 各 $u$ について $v$ は $\sqrt{1-u^2}$ から $1$ まで動き、被積分関数は $v$ なので $\int_0^1\frac{1-\left(1-u^2\right)}{2}du=\int_0^1\frac{u^2}{2}du=\frac16$ となる。

6. 6

   足して検証する。 合計は $\frac23+\frac16=\frac56$ である。もとの被積分関数について $4000\times4000$ の中点則の格子を使うと $0.83333333$ が返り、$\frac56$ と一致する。