y = (x + 4)/(x + m) が区間 (−∞, −7) で増加するような実数 m をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 次分数関数の公式で微分する。 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ に対して $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$ であり、ここでは $a=1$、$b=4$、$c=1$、$d=m$ なので

   $y'=\frac{m-4}{(x+m)^{2}}$

2. 2

   符号の条件を課す。 分母の 2 乗は $y$ が定義されるところでは常に正なので、増加であることは

   $m-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad m>4$

   と同値である。

3. 3

   極についての条件を課す。 この関数は $x=-m$ に垂直漸近線をもつ。区間 $(-\infty,-7)$ 全体で 増加であるためには、その漸近線が区間の外になければならない。

   $-m\notin(-\infty,-7)\quad\Longleftrightarrow\quad -m\ge -7\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 7$

   端点は許される点に注意する。$m=7$ のとき極はちょうど $x=-7$ にあり、これは開区間 $(-\infty,-7)$ の内点ではない。

4. 4

   2 つの条件の共通部分をとる。

   $4<m\le 7$

   $\boxed{m\in(4,\,7]}$

5. 5

   境界の 3 つの場合を確かめる。 $m=4$ では $y=\tfrac{x+4}{x+4}=1$ となり定数なので増加ではない ✗。よって $4$ は除外される。$m=7$ では $y=\tfrac{x+4}{x+7}$ で $(-\infty,-7)$ 上 $y'=\tfrac{3}{(x+7)^{2}}>0$ ✓ なので $7$ は含まれる。$m=8$ では極 $x=-8$ が $(-\infty,-7)$ の内部にあるため、そこで切れてしまい区間全体では増加にならない ✗。

6. 6

   一般の型を押さえる。 $q>p>0$ として $y=\dfrac{x+p}{x+m}$ が $(-\infty,-q)$ で増加する条件は、同じ 2 つの条件から $p<m\le q$ となる。したがって答えは常に右端が閉じた半開区間 $(p,q]$ である。