f を (0, 無限大) 上で f(x) = (3 + √x) / (4√x) と定める。x が無限大に近づくときの f(x) の極限と f(f(x)) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形と格闘せず、分数を分ける。 そのままでは $f(x)$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である。分子の各項を分母で割ると、あいまいさがそのまま消える：

   $f(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{4}$

   この書き換えは $\sqrt{x}\neq 0$ となるすべての $x>0$ で正当である。

2. 2

   1つ目の極限を読み取る。 $x\to+\infty$ のとき $\sqrt{x}\to+\infty$ なので $\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\to 0$ であり、

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

   となる。直線 $y=\tfrac14$ はグラフの水平漸近線で、$\tfrac{3}{4\sqrt{x}}>0$ がつねに成り立つので上から近づく。

3. 3

   外側の関数に $+\infty$ を代入してはいけない。 $f(f(x))$ では内側の値は無限大には行かず、$\tfrac14$ に行く。正しい道具は極限の合成則である。$x\to+\infty$ で $f(x)\to L$ であり、$f$ が $L$ で連続なら、

   $\lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=f(L)$

4. 4

   その規則が適用できることを確認する。 ここで $L=\tfrac14$ は定義域 $\left]0,+\infty\right[$ の中にあり、$f$ はそこで連続である（$\sqrt{x}$ と、分母 $4\sqrt{x}$ がその区間で決して $0$ にならない商から作られているため）。さらにすべての $x>0$ で $f(x)>\tfrac14>0$ なので、内側の値は確かに外側の $f$ の定義域内にとどまる。したがって無限遠の近くで合成はきちんと定義されている。

5. 5

   $L=\tfrac14$ で外側の関数を評価する。 $\sqrt{1/4}=\tfrac12$ なので：

   $f\!\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3+\frac{1}{2}}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}$

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{4},\qquad \lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=\frac{7}{4}}$

6. 6

   数値で確かめる。 $x=10^4$ では $f(x)=0.2575$、$f(f(x))=1.72799$。$x=10^8$ では $f(x)=0.250075$、$f(f(x))=1.749775$。値は $\tfrac14=0.25$ と $\tfrac74=1.75$ に近づいており、連続性による議論の予測どおりである。