初期条件 f'(2) = 5、f(2) = 10 を満たす微分方程式 f''(x) = 2 の特殊解を求めよ。

Step-by-step solution

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   2 回の不定積分と 2 つの定数を見通す。 与えられているのは2 階の導関数なので、$f$ を復元するには積分が 2 回必要であり、そのたびに任意定数が 1 つずつ現れる。問題が条件を 2 つ与えているのはまさにそのためで、定数を 1 つずつ消していく。$f''\to f'\to f$ の順に積分し、定数は現れるたびにその場で決める。

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   1 回積分して $f'$ を得る。 定数 $2$ の原始関数は $2x$ である。

   $f'(x)=\int 2\,dx=2x+C_{1}$

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   $f'(2)=5$ から $C_{1}$ を求める。 $x=2$ を代入すると

   $f'(2)=2(2)+C_{1}=4+C_{1}$

   となり、これを $5$ と等しいとおくと $C_{1}=1$ が得られるので

   $f'(x)=2x+1$

   となる。$C_1$ を引きずらずここで確定させておけば、2 回目の積分がすっきりする。

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   もう一度積分して $f$ を得る。 $2x+1$ を項ごとに不定積分する。

   $f(x)=\int (2x+1)\,dx=x^{2}+x+C_{2}$

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   $f(2)=10$ から $C_{2}$ を求める。 $x=2$ を代入すると

   $f(2)=2^{2}+2+C_{2}=6+C_{2}$

   となり、これを $10$ と等しいとおくと $C_{2}=4$ が得られるので、特殊解は

   $f(x)=x^{2}+x+4$

   である。

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   3 つの要求をすべて検証する。 微分すると $f'(x)=2x+1$、$f''(x)=2$ となり微分方程式は成り立つ。$x=2$ では $f'(2)=2(2)+1=5$、$f(2)=4+2+4=10$ である。2 つの初期条件はどちらもぴったり満たされている。