−1 ≤ x ≤ 1、x² ≤ y ≤ 1、0 ≤ z ≤ y で定まる領域上で、xz の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分限界から入れ子の順序を読み取る。 積分限界はすでに $dz\,dy\,dx$ に正しく積み上がっている。最も内側の限界（$0$ から $y$）は $y$ と $x$ を含んでよく、中間の限界（$x^2$ から $1$）は $x$ を含んでよく、最も外側は定数でなければならない。並べ替えは必要ない。

2. 2

   z について積分する。 ここでは $x$ が定数である。

   $\int_0^y xz\,dz = x\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^y = \frac{xy^2}{2}$

3. 3

   y について x² から 1 まで積分する。 今度は $x/2$ が定数である。

   $\int_{x^2}^{1} \frac{xy^2}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{x^2}^{1} = \frac{x}{6}\left(1 - x^6\right)$

   $(x^2)^3 = x^6$ であって $x^5$ ではない点に注意する——べきのべきでは指数は掛け算になる。

4. 4

   積分する前に、残った被積分関数の偶奇を見る。

   $\frac{x(1 - x^6)}{6} = \frac{x - x^7}{6}$

   $x$ も $x^7$ も奇関数なので、被積分関数全体が奇関数である：$f(-x) = -f(x)$。

5. 5

   区間の対称性を使う。 外側の区間 $[-1, 1]$ は $0$ について対称であり、そのような区間上での奇関数の積分は 0 になる。

   $\frac{1}{6}\int_{-1}^{1}(x - x^7)\,dx = 0$

   幾何的な理由は設定の中に見てとれる。立体領域は $x \mapsto -x$ について対称（限界 $x^2 \le y \le 1$ と $0 \le z \le y$ は変わらない）である一方、被積分関数 $xz$ は符号を変えるので、寄与が対になって打ち消し合う。

6. 6

   検証する。 項ごとに直接計算しても $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$、$\int_{-1}^{1} x^7\,dx = 0$ である。数値三重求積は $-5 \times 10^{-20}$、すなわち計算機精度での 0 を返す。外側の段階で対称性を見抜けば計算全体を省けるが、それは領域が本当に対称であることを確かめた 後 に限られる。