x > 1 で f(x) = (a x^2 - x - 1)/(x - 1)、f(1) = b、x < 1 で f(x) = -x + c と定めるとき、f が x = 1 で連続になるような a、b、c の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1点での連続性が実際に何を要求するかを述べる。 次の3つの量がすべて存在し、かつ一致しなければならない：

   $\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$

   3つの分岐に3つの未知数があるので、必要な式がちょうど3本得られる。最も強い制約を与える分岐、つまり右側から手をつける。

2. 2

   右側極限が有限になることを要求する。これが $a$ を決める。 $x\to1^+$ のとき分母は $x-1\to0$ である。もし分子も $0$ に近づかなければ商は $\pm\infty$ に発散し、$b$ や $c$ をどう選んでも連続にはできない。よって

   $a(1)^2-1-1=0\quad\Longrightarrow\quad a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.$

   たとえば $a=3$ なら分子は $\to1$、分母は $\to0^+$ となって $+\infty$ に発散し、もはや修復の余地はない。

3. 3

   共通因子を約分して極限を求める。 $a=2$ のとき $x=1$ が根になるので、分子は因数分解できる：

   $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$

   $\lim_{x\to1^+}\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=3$

   ここで約分してよいのは、極限が $x\neq1$ すなわち $x-1\neq0$ の範囲だけを見ているからである。

4. 4

   その点での値を一致させる。これが $b$ を決める。 連続性から $f(1)$ はこの極限に等しくなければならない：

   $b=3.$

5. 5

   左側極限を一致させる。これが $c$ を決める。 左側の分岐は多項式なので、極限は値そのものである：

   $\lim_{x\to1^-}(-x+c)=-1+c$

   $-1+c=3\quad\Longrightarrow\quad c=4.$

6. 6

   3つの量が一致することを確認する。 $a=2$、$b=3$、$c=4$ のとき、左側極限は $-1+4=3$、値は $f(1)=3$、右側極限は $2(1)+1=3$ である。すべて等しいので $f$ は $x=1$ で連続である。数値でも $f(0.999)=3.001$、$f(1.001)=3.002$ となり、予想通り両側から $3$ に近づいている。